Apología parcial del entendimiento instrumental

El inglés Richard Skemp (1919-1995) fue uno de los pioneros en Educación Matemática, integrando matemática, educación y psicología. Fue profesor de Matemática, de Psicología y de Teoría de la Educación y, desde 1980 a 1982, fue presidente del Grupo Internacional para la Psicología de la Educación Matemática (PME).

Skemp desarrolló dos conceptos para describir enfoques diferentes en el aprendizaje de la matemática: el entendimiento instrumental y el relacional.

El entendimiento instrumental hace referencia al enfoque según el cual los estudiantes aprenden y aplican reglas, procedimientos, algoritmos y fórmulas para resolver problemas matemáticos sin comprender necesariamente la lógica subyacente.

Por otra parte, el entendimiento relacional se centra en la comprensión de relaciones entre los conceptos matemáticos. En este enfoque los estudiantes, en lugar de aplicar simplemente reglas mecánicas, establecen conexiones entre distintos conceptos, lo cual les permite resolver situaciones problemáticas diversas. Skemp argumentaba que el entendimiento relacional es más deseable que el instrumental, ya que permite a los estudiantes desarrollar una comprensión más profunda y flexible de la matemática.

Realicé el bachillerato a comienzos de la década de los 90 en el Instituto Alfredo Vásquez Acevedo (IAVA, Montevideo); instituto en el que había un reconocido plantel de profesores de Matemática. En esa época teníamos que realizar una cantidad desmesurada de ejercicios, en donde la mayoría de las veces el sustento conceptual quedaba olvidado detrás de procedimientos relativamente mecánicos. Los símbolos desbordaban por los márgenes de las hojas de actividades: los obesos dividendos podían llegar a aplastar a los divisores; las raíces, de índices diversos, cubrían de las inclemencias a las hacinadas expresiones algebraicas que, ateridas, se guarecían debajo de sus techos; los logaritmos simulaban árboles de navidad. En algún momento de la historia de la enseñanza de la matemática en Uruguay (en el entorno de la primera década de este siglo), algunos profesores de matemática comenzaron a cuestionar y a criticar esta forma tradicional de enseñar matemática: «tienen una lista interminable de funciones para derivar pero resulta que, cuando tienen que aplicar el concepto de derivada en un problema sencillo, no saben hacerlo», decían los profesores críticos de la enseñanza tradicional.

¿Era que aquellos profesores que tuve en el IAVA no estuvieran interesados en un entendimiento relacional? Responder afirmativamente a esta pregunta me parece injusto. Según mi punto de vista, el problema era que la reflexión en la clase de matemática estaba centrada en la figura del profesor y no era una actividad que se propusiera, auténticamente, a los estudiantes. El profesor era, principalmente, quien establecía conexiones entre conceptos matemáticos y entre resultados; y los estudiantes (cuando las ideas del profesor no les quedaban demasiado lejos) podían acompañar a través de un asentimiento silente o, en el mejor de los casos, con aportes anexos, pero no había un auténtico espacio de reflexión individual ni grupal durante el desarrollo de la clase. Lo que podría haber sido objeto de reflexión por parte de los estudiantes, se simplificaba en una observación por parte del profesor escrita en el pizarrón o en los apuntes que entregaba a sus alumnos. (Todavía en la actualidad algunos colegas coetáneos, envueltos en una atmósfera de añoranza, mencionan los «impecables pizarrones» de tal o cual profesor, que «parecían página de un libro»; es más, no dudo que para algunos de ellos ese debe ser el estándar que hay que perseguir. Porque para muchos docentes, la didáctica de la matemática se reduce a pizarrones prolijos, a la utilización de marcadores de colores y a la claridad en las exposiciones.) Recuerdo algunos de aquellos cursos como representaciones teatrales, en donde el actor principal, de una obra que prácticamente era un unipersonal, era el profesor. Creo que estos profesores buscaban deslumbrarnos con sus conocimientos, o provocarnos (o incluso escandalizarnos) con sus comentarios mordaces (que podrían, cuando menos, erizar la sensibilidad actual), o divertirnos con sus gestos y chistes repetidamente calculados.

Más adelante en el tiempo vino la época de la enseñanza de la matemática a través de la resolución de problemas. Algunos profesores se adscribieron a esta tendencia (o por lo menos lo intentaron), convencidos (o aturdidos) por los promotores del cambio que, con eslóganes seductores y poca mesura (según mi criterio), intentaron convencer a sus colegas de los beneficios de esta metodología. Entre los que intentaron cambiar, hubo quienes lo hicieron con mayor y otros con menor acierto. Porque emprender ciertos cambios implica un gran esfuerzo, convencimiento personal, compromiso y un cierto acompañamiento sistemático. No es suficiente promover la enseñanza de la matemática a través de la resolución de problemas para obstaculizar el entendimiento instrumental y promover el relacional, si este era el propósito. Si un profesor, que concibe la enseñanza de la matemática desde un entendimiento instrumental, no sabe cómo gestionar adecuadamente una clase que se sostiene sobre la resolución de problemas, la situación empeorará: no solo no conseguirá un entendimiento relacional sino que tampoco desarrollará un entendimiento instrumental en sus estudiantes.

Por supuesto que hubo inmutables profesores de matemática que, despreocupados o recelosos de las modas, siguieron con sus cursos tradicionales, confiados en sus propuestas basadas en un entendimiento instrumental o ignorando otras formas de enseñar matemática. No creo que esto sea parte del pasado, creo que aún siguen existiendo profesores de matemática que apuntan a un entendimiento más bien instrumental, aunque seguramente con listas de ejercicios más reducidas que las que nos tocaron en suerte a los de mi generación y a los de generaciones anteriores. Respecto a los profesores que siguen un enfoque basado en un entendimiento instrumental, tengo poco para decir, salvo que van en contra de todas las recomendaciones de la Didáctica de la Matemática relacionadas con el tema. En cambio, me interesa centrar la atención en los profesores que, bajo un enfoque basado en un entendimiento relacional, han descuidado el entendimiento instrumental. Me parece advertir por parte de algunos colegas un desprecio –o por lo menos una desatención– a los procedimientos mecánicos, particularmente a los vinculados a lo operacional, dejándolos abandonados a las computadoras. Quizás esta actitud esté sostenida –inadecuadamente– en la importancia que tiene el entendimiento relacional en la enseñanza de la matemática. Digo inadecuadamente, porque si bien estoy de acuerdo en la importancia del entendimiento relacional, esto no solo no implica que el entendimiento instrumental debe ser despreciado, sino que además creo que dicho entendimiento propicia y potencia el entendimiento relacional. Por lo tanto, si bien debemos aspirar a un entendimiento relacional (y, quizás, justamente por esto), no debemos descuidar el entendimiento instrumental.

La teoría APOE y el entendimiento instrumental

La teoría APOE es una teoría cognitiva desarrollada por Ed Dubinsky a principios de los años ochenta a partir del trabajo de Jean Piaget. Esta teoría estudia cómo los estudiantes adquieren y comprenden conceptos matemáticos. El acrónimo APOE está constituido por la inicial del nombre que recibe cada una de las cuatro etapas clave en el aprendizaje de los conceptos matemáticos:

Acción: los estudiantes conciben, en primer lugar, a los conceptos matemáticos a través de transformaciones, tanto físicas como mentales. En esta etapa cada paso de la transformación necesita, para ser realizada, instrucciones externas explícitas.

Proceso: la repetición y reflexión en torno a una acción puede conducir a un proceso mental. El proceso se caracteriza por la capacidad del estudiante de imaginar la realización de los pasos sin tener necesariamente que realizarlos uno por uno.

Objeto: cuando un estudiante puede concebir al proceso como una totalidad y se da cuenta de que las transformaciones pueden actuar sobre esa totalidad, entonces se dice que ha encapsulado el proceso en un objeto cognitivo.

Esquema: el esquema de un estudiante, vinculado a un determinado concepto matemático, es una colección de acciones, procesos, objetos y otros esquemas, que forman un marco en la mente, el cual puede ser evocado para enfrentar una situación matemática específica que involucra dicho concepto.

Para ejemplificar las cuatro etapas anteriores voy a considerar el concepto función. Un estudiante que requiere una expresión algebraica para trabajar con una función y puede hacer poco más que sustituir la variable por valores particulares del dominio, se considera que está en una etapa acción de función. Un estudiante en una etapa proceso pensará a la función en términos de elementos de entrada que se transforman para producir elementos de salida. En una etapa objeto el estudiante puede aplicar transformaciones a las funciones y concebir, por ejemplo, un conjunto de funciones, definir operaciones en dicho conjunto, equiparlo con una topología, etc. El esquema de función de un estudiante puede estar compuesto por diferentes tipos de funciones (construidas como procesos u objetos), como funciones de variable real, funciones de varias variables o funciones proposicionales.

Ahora bien, si las acciones están vinculadas con un entendimiento instrumental, este entendimiento es necesario en el aprendizaje de los conceptos matemáticos: la etapa acción, si bien es primaria, es clave en la construcción del conocimiento matemático porque conduce a la etapa proceso. Por lo tanto, el entendimiento instrumental no puede ser desestimado. Esto no significa que debamos abandonar nuestras aspiraciones de un entendimiento relacional, lo que digo es que el entendimiento instrumental debe tener un lugar en la clase de matemática.

Anteriormente he sostenido que el entendimiento instrumental es necesario en la construcción del conocimiento matemático, pero ahora, para terminar, quiero cambiar la línea argumentativa mencionando una situación a la que me enfrento con mis estudiantes de primer año de la formación de profesores (situación que empeora año a año). Los estudiantes que ingresan al primer año del profesorado de matemática presentan grandes dificultades operacionales. Esta carencia repercute negativamente en su aprendizaje de la matemática porque en lugar de poder abocarse a actividades matemáticas relevantes como pueden ser conjeturar, argumentar, generalizar, etc., están absorbidos por las dificultades operatorias. Por lo tanto, si bien estoy de acuerdo acerca de la importancia y el valor irrenunciable que tiene el entendimiento relacional, para que se produzca es necesario que los estudiantes puedan operar con cierta fluidez, para lo cual es necesario que en la clase de matemática de la enseñanza media este tipo de actividad tenga un lugar.