La Comunidad Matemática del Aula. Una primera aproximación

No recuerdo dónde pero lo primero que escuché o leí (y luego compartí) acerca de la comunidad matemática del aula (CMA) –que era, a mi entender, un idea disruptiva en ese momento– tenía que ver con las argumentaciones en la clase de matemática: en cada CMA se establecen (implícita y explícitamente) unos ciertos criterios para que una demostración sea o no aceptada como válida, y estos criterios no son necesariamente los aceptados por la comunidad de matemáticos profesionales, sino que responden a los procesos de aprendizaje de los estudiantes que pertenecen a un curso y a un grupo particular.

Me propuse escribir sobre la CMA porque me parecía (y me sigue pareciendo) la forma adecuada de pensar la clase de matemática. Para elaborar esta entrada lo primero que hice fue leer y resumir algunos artículos con la finalidad de tener un soporte teórico desde el cual reflexionar. El trabajo fue más arduo de lo que imaginaba porque no quería simplemente exhibir una síntesis de las lecturas: quería presentar algunas reflexiones a partir de la teoría pero a la luz de mi práctica docente actual. Durante el proceso de elaboración de este artículo tuve que abandonar tópicos con los que comulgaba porque cuando los analicé seriamente me parecieron poco factibles en el contexto de la enseñanza formal. Los invito a reflexionar conmigo y a buscar respuestas para algunas de las preguntas que quedarán planteadas.

1. Proceso de producción escolar de conocimiento matemático vs. contenido matemático

Charlot señala que estudiar matemática es hacer matemáticas, y hacer matemáticas significa construirlas, fabricarlas, producirlas (Charlot, 1986, p. 1). Y quizás debido a que en ocasiones se señala que no es posible en la enseñanza reproducir los avatares históricos ni epistemológicos que, a través de muchos años (cuando no siglos), dieron origen a un cierto concepto matemático, Charlot aclara que: «No se trata de hacer que los alumnos reinventen las matemáticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de producción matemática donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemáticos que forjaron los conceptos matemáticos nuevos» (Charlot, 1986, p. 1). Creo que esta es una idea muy sugestiva, pero: ¿qué significa que no se trata de que los alumnos reinventen las matemáticas sino de que la actividad desarrollada por ellos tenga el mismo sentido que tiene para los matemáticos? ¿Está poniendo el énfasis en el proceso de producción matemática con independencia de los contenidos? En otras palabras, ¿en qué medida los contenidos importan? Si los contenidos no importan (o importan poco), en la educación formal nos enfrentamos a un problema en cuanto se deben abordar ciertos contenidos descritos a priori en unos programas de estudio. Si los contenidos sí importan (al igual que el proceso de producción matemática): ¿cómo hacer para que la producción matemática de los alumnos (emulando los procesos de producción de los matemáticos profesionales) desemboque en los conceptos o resultados indicados en los programas? De alguna manera, establecer como meta de la actividad en el aula el aprendizaje de ciertos contenidos matemáticos ¿no es contradictorio con la forma en que los matemáticos producen conocimiento?

Antes de continuar quisiera hacer un par de aclaraciones. En primer lugar, siempre que hable de producción escolar de conocimiento matemático, estaré haciendo referencia a una producción de conocimiento, en el contexto de la enseñanza formal (escolar, liceal, formación de profesores de Matemática, formación de maestros), que emula la producción profesional de conocimiento matemático (es decir, la producción de conocimiento por parte de los matemáticos profesionales). En segundo lugar, mi propósito no es analizar críticamente la postura de Charlot (lo cual sería imposible a partir del análisis de un único documento que, como si fuera poco, está elaborado a partir de una de sus conferencias en 1986 en donde quizás estuviera más inclinado a generar controversia entre los asistentes que a presentar una propuesta meditada para aplicar en la enseñanza formal), sino más bien citar algunas de sus ideas para que me ayuden a reflexionar.

2. Producción escolar de conocimiento matemático vs. actividad matemática

Sadovsky, en el fragmento que aparece a continuación, plantea un enfoque que a mi parecer se ajusta mejor a la enseñanza formal que el que plantea Charlot: la enseñanza de la matemática vinculada con la actividad matemática. La actividad matemática (a juzgar por algunas situaciones de clase descritas por Sadovsky en su libro) es menos pretenciosa y más asequible, en el contexto de la enseñanza formal, que la producción escolar de conocimiento matemático: la actividad matemática tendría por objeto la reconstrucción escolar de conocimiento matemático y es más general que la producción escolar de conocimiento matemático. Esta visión, aunque menos radical que la de Charlot, todavía contrasta con un enfoque tradicional que considera la enseñanza de la matemática como un arte que depende, por un lado, de la solvencia matemática del profesor y de su claridad expositiva y, por otro, de la dedicación de los estudiantes.

«Sin embargo, pensar que “el asunto” de la clase es la actividad matemática –incluyendo los resultados de dicha actividad por supuesto– no es una postura unánimemente compartida entre todas las personas involucradas en la educación matemática: hay quienes se centran en comunicar algunos “resultados” a la manera de discurso acabado, hay quienes hacen un recorte para la enseñanza que no toma al conjunto de la actividad matemática como referencia sino solo una parte, y conciben la enseñanza como la comunicación de técnicas aisladas. Ni unos ni otros necesitan pensar en una génesis escolar que convoque a los alumnos a un trabajo de reconstrucción de ideas. Aunque la noción de génesis escolar se irá precisando a medida que avancemos en el desarrollo del libro, digamos por ahora que es necesario pensar en un proceso de producción en la clase que tenga en cuenta las condiciones de la institución escolar que son esencialmente diferentes de las que rigen la producción de saberes en la ciencia.

En primer lugar, los alumnos deberán elaborar conocimientos que –seguramente con rasgos diferentes– ya existen en la cultura. Las herramientas conceptuales que dispondrán para hacerlo serán diferentes de las que fueron utilizadas cuando esos conocimientos “ingresaron” en la comunidad científica de la “mano” de matemáticos profesionales. En otros términos, un matemático productor “sabe” muy distinto que un alumno de la escuela concebido como “matemático”, lo cual obliga a pensar qué elementos tendría un alumno para reconstruir una idea que fue elaborada con otras herramientas y desde otro marco conceptual. Por otro lado, muchos de los “objetos” que se tratan en la clase de matemática de la escuela actual, hace varios siglos que “abandonaron” su refugio original en la comunidad matemática y circulan por la sociedad “común”, lo cual ha modificado una y otra vez sus sentidos.» (Sadovsky, 2005a, pp. 23-24)

En el fragmento anterior Sadovsky, desde una mirada perspicaz y sutil –que contempla la realidad escolar– introduce críticamente varios elementos a tener en cuenta sobre el asunto de la clase. La autora distingue entre quienes consideran que el asunto de la clase es la actividad matemática y quienes se centran en comunicar resultados o técnicas aisladas. Los segundos no, pero los primeros deben pensar en una génesis que tenga en cuenta las particularidades del contexto escolar: ¿Qué elementos tiene un alumno para reconstruir unas ideas que fueron elaboradas con unas ciertas herramientas y desde un cierto marco conceptual? Por otra parte, ¿cómo concebir esta génesis si además algunas de estas ideas abandonaron el ámbito científico y circulan por la sociedad desde hace tiempo?

Pensar en una génesis escolar implica un gran desafío, no solo porque un matemático sabe muy distinto a un alumno de la escuela o del liceo, sino porque también los programas de estudio de cada curso establecen a priori unos ciertos contenidos y una cierta distribución del tiempo. Esto no escapa a la mirada situada de Sadovsky: «En segundo lugar, la escuela impone un modo de trabajo según el cual los saberes solo pueden durar un cierto tiempo en la vida de la clase, ya que luego hay que pasar a ocuparse de otros saberes, esto implica un condicionante fuerte a la hora de pensar en procesos de reconstrucción del conocimiento en la escuela pues los tiempos de aprendizaje no se rigen por la lógica de los “trimestres” o “bimestres”.» (Sadovsky, 2005a, p. 25) Por otra parte, la autora señala un aspecto para nada menor de la enseñanza formal que podría ir en menoscabo del proceso de producción: «Digamos finalmente que el sistema a través del cual se acreditan los aprendizajes no siempre “calza bien” con los recorridos que es necesario transitar para involucrarse verdaderamente en un proceso de producción...» (Sadovsky, 2005a, p. 25)

3. Producción escolar de conocimiento matemático vs. reconstrucción escolar de conocimiento matemático

¿Es posible la producción escolar de conocimiento matemático? La producción de conocimiento por parte de los matemáticos profesionales está atravesada por la incertidumbre y, quizás, por un sentimiento de orfandad: un matemático, frente a un auténtico problema, desconoce: 1. si será capaz de resolverlo, 2. si alguien más será capaz de hacerlo y 3. si con su resolución obtendrá un resultado nuevo y relevante. En cambio, la producción escolar de conocimiento matemático está sobre todo enfocada en la apropiación, por parte de los estudiantes, de un conocimiento predeterminado. En otras palabras, el conocimiento (producto, por ejemplo, de la resolución de un problema) está determinado a priori: en la producción escolar de conocimiento matemático el problema es consecuencia de un cierto conocimiento, en cambio, en la producción profesional de conocimiento matemático es a la inversa: el conocimiento es consecuencia de un problema. Por último, el estudiante sabe que no está solo frente al problema. 

De todas formas, quizás estaría bien distinguir entre la reconstrucción escolar de conocimiento matemático predeterminado y la reconstrucción escolar de conocimiento matemático contingente. Propongo llamar reconstrucción escolar de conocimiento matemático predeterminado a la reconstrucción, por parte de los estudiantes, de un cierto contenido matemático como resultado de la realización de actividades propuestas por el maestro o el profesor con un propósito didáctico. Por otro lado, puede suceder que algunos estudiantes se aparten momentáneamente (por necesidad o por curiosidad) de la reconstrucción escolar de conocimiento matemático predeterminado para responder preguntas surgidas como consecuencia de su propia y particular forma de enfrentarse a las actividades, en este caso propongo hablar de reconstrucción escolar de conocimiento matemático contingente. Entre ambas reconstrucciones, estimo que esta última está más cercana a la producción profesional de conocimiento matemático en cuanto surge espontáneamente en los estudiantes como resultado de su curiosidad y de una forma particular de enfrentar las actividades.

A mí me parece que en la enseñanza formal es más factible –por lo menos si nuestra preocupación está centrada en los contenidos– la reconstrucción escolar de conocimiento matemático que la producción escolar de conocimiento matemático. Un par de aclaraciones. En primer lugar, insisto, la observación anterior vale si centramos la atención en los contenidos, si centramos la atención en los procesos de producción matemática, con cierta prescindencia de los contenidos, creo más viable la producción escolar de conocimiento matemático. En segundo lugar, que me parezca más factible la reconstrucción escolar de conocimiento matemático no implica negar el valor que tendría la producción escolar de conocimiento matemático, ni tampoco implica afirmar su total imposibilidad.

4. Problemas vs. actividad matemática

Según Charlot, durante el proceso escolar de producción matemática se construyen conceptos para resolver problemas, a partir de los cuales se plantean nuevos problemas que permiten generalizar y articular los conceptos (Charlot, 1986, p. 2)

¿Charlot estará considerando la resolución de problemas como forma exclusiva en la reconstrucción escolar de conocimiento matemático? No lo sé, pero me parece necesario señalar que el solo hecho de trabajar en la clase en torno a problemas no garantiza un adecuado tratamiento del conocimiento matemático. Ya he tenido oportunidad de mencionar en un artículo anterior que, hace unos años, algunos profesores uruguayos adhirieron metodológicamente a la resolución de problemas (quizás con la buena intención de apartarse de una enseñanza meramente instrumental) para terminar evaporando los conocimientos matemáticos de sus cursos. Porque trabajar en torno a problemas no garantiza nada per se; para que esta forma de trabajo sea efectiva es necesaria una muy buena gestión docente que apunte a la estructuración del conocimiento generado a través de la resolución de los problemas.

«La relación entre conocimiento y saber advierte sobre la reducción que supone pensar un proceso de enseñanza solo centrado en la resolución de problemas: las revisiones, las reorganizaciones teóricas, las descontextualizaciones, las relaciones entre conceptos, en fin, las reflexiones sobre tramos enteros de lo realizado, juegan un papel fundamental en la calidad de los conocimientos que se elaboran.» (Sadovsky, 2005b, p. 23)

Para comprender lo que señala Sadovsky en la cita anterior es necesario tener en cuenta la diferencia que Brousseau hace entre conocimiento y saber. El conocimiento está vinculado a la experiencia personal del estudiante y a la capacidad de utilizar conceptos en contextos variados. En cambio el saber es el conocimiento codificado y formalizado como, por ejemplo, el que aparece en los libros de texto: los conocimientos permiten controlar una situación y obtener un resultado de acuerdo a una expectativa o una exigencia social, en cambio el saber es el producto de identificar, analizar y organizar los conocimientos con el fin de facilitar su comunicación (Sadovsky, 2005b, p. 9).

5. La Comunidad Matemática del Aula: un espacio de intercambio, discusión y reflexión

Hay eventuales respuestas del docente que no contribuyen a que la clase se constituya como una CMA; respuestas que anulan el interés de los estudiantes en reflexionar, indagar, reconstruir conocimiento y ni que hablar de producir conocimiento matemático. Respuestas que eran muy usuales cuando era estudiante (tanto de secundaria como del profesorado de Matemática); respuestas que parecían pretender un anhelado lugar de superioridad y admiración; respuestas que establecían, implícitamente, que el conocimiento ya estaba construido y que el estudiante solo debía ubicarse adecuadamente a fin de asimilarlo. De este modo egresé del profesorado, sumiso ante el conocimiento matemático, sin entender cabalmente su dimensión humana, mero espectador de la parafernalia matemática. Una de las consecuencias de este enfoque de la enseñanza, fue la resistencia, cuando comencé a dar clases, a enfrentar ciertas preguntas de los estudiantes: «¿Qué es un plano?», me preguntaron una vez en magisterio. «¿Un plano? ¿Cómo un plano? ¿Acaso no es un concepto primitivo?», pensaba yo. Entonces, medio de casualidad, encontré que Coppetti, en uno de sus libros, ejemplificaba el concepto de plano a través de las aguas tranquilas de un lago: «Ah, pero entonces debe ser necesario problematizar el concepto de plano y no darlo por hecho...» 

Si las dudas de los estudiantes se responden desde el saber sabio y no se problematizan, no es posible que la clase se constituya como una CMA. Una CMA necesita poner en cuestión, necesita reflexionar y discutir, necesita pensar más allá del conocimiento ya establecido.

Quizás sirva para ejemplificar mi idea de una CMA la siguiente escena de la vida del aula descrita por Sadovsky (2005a, p. 52). Un profesor pregunta a sus alumnos: ¿Cuál es el valor de b  para que 5 (b + 2) + 3 sea múltiplo de 5? 

Una alumna responde que b puede ser 1,4; 2,4; 3,4... «b debe ser un número con coma 4». Gran parte de la clase había contestado que no había ningún valor de b, porque b debía ser entero.

«Profesor: Efectivamente, la relación de divisibilidad la hemos definido entre números enteros. Mi pregunta es ahora: ¿por qué nos hemos restringido a los números enteros? ¿No podríamos haber definido la relación de divisibilidad entre números racionales?» (Sadovsky, 2005a, p. 53)

Dice Sadovsky a continuación:

«Los alumnos empiezan a discutir. Cuando termina la hora, la cuestión no está saldada y el profesor plantea que sigan pensando sobre el asunto. Notemos que la producción “errónea” de la alumna es tomada por el docente y transformada en una pregunta matemática relevante para el conjunto de la clase, que genera una discusión intensa. De manera transversal los alumnos aprenden que el trabajo del otro puede ser fuente de problemas y discusiones genuinas sin que necesariamente eso esté teñido de la carga negativa del juicio. Es claro para nosotros el valor educativo de estas interacciones.» (Sadovsky, 2005a, p. 53)

Dejando de lado el hecho de que el profesor no indica a qué conjunto numérico pertenece b y, por otra parte, que su respuesta («la relación de divisibilidad la hemos definido entre números enteros») no justifica que b deba ser entero (en todo caso justificaría que 5 (b + 2) + 3 debe serlo), podemos observar que el profesor no solo no invalida la respuesta de la alumna sino que además la aprovecha como fuente de discusión y reflexión:

«Nuestro profesor podría haber dicho a sus alumnos simplemente que la relación de divisibilidad se define entre números enteros y que, por lo tanto, la respuesta es incorrecta. Esta alternativa –“matemáticamente correcta”– cierra la discusión dejando en el “ambiente” la sensación de que el juego que tienen que jugar los alumnos está regido por reglas cuya razonabilidad no es asunto de los estudiantes. Es difícil, desde esta posición, convocar a los alumnos a un trabajo de producción.» (Sadovsky, 2005a, p. 54)

(Estimado lector/profesor, ¿qué le parece la forma en que el docente gestionó la clase? ¿Le parece adecuado que le haya preguntado a sus estudiantes por qué la relación de divisibilidad no se define entre números racionales? ¿Por qué la relación de divisibilidad no se define entre números racionales?)

El intercambio entre profesor y estudiantes de la escena anterior promueve, según mi punto de vista, una necesaria reflexión si se busca la reconstrucción del concepto de múltiplo o de divisor. Creo que este tipo de interacción entre estudiantes y profesor no solo es posible en la enseñanza formal sino que es deseable y debe implementarse como parte de una metodología de trabajo si se desea que la clase se constituya como una CMA.

6. Una aproximación al rol del docente en la Comunidad Matemática del Aula

El profesor, desde su conocimiento del contenido pedagógico y desde su propósito didáctico, debe: 1. potenciar las discusiones (en lugar de anularlas), 2. ordenar las participaciones de los estudiantes para asegurar que se escuchen unos a otros, 3. cerciorarse de que todos los alumnos comprenden los argumentos esgrimidos por un compañero, 4. poner en cuestión las afirmaciones que se hagan buscando la participación y el involucramiento de todos los estudiantes, 5. colaborar con los estudiantes, si fuera necesario, para ayudarlos a exponer sus argumentos. Todo lo anterior contribuye a la generación de un espacio democrático y reflexivo de trabajo, necesario para la conformación de la CMA. 

«Las dos escenas que hemos relatado hacen eje en un asunto simple y complejo al mismo tiempo: el docente discutiendo ideas matemáticas con sus alumnos, el docente considerando a los estudiantes como sujetos productores. Se trata –por supuesto– de una construcción producto de un modo de hacer que se va instalando en una clase, cuando el asunto es enseñar la actividad matemática y no solamente la matemática. Las relaciones de confianza relativas al conocimiento están aquí en juego.» (Sadovsky, 2005a, p. 58)

Por otra parte, el docente no puede perder de vista cuál es su propósito didáctico: una buena gestión de la clase por parte del docente es la que, entre otras cosas, mantiene una adecuada tensión entre su propósito didáctico y las inquietudes y ocurrencias de los estudiantes. Si está demasiado preocupado en que sus estudiantes adquieran ciertos conocimientos y por este motivo desestima las inquietudes y las sugerencias de los alumnos, el aula se alejará de una comunidad matemática. Si se desvía todo el tiempo en función de las ocurrencias de los estudiantes, se alejará seguramente de su propósito didáctico. Además, en este último caso, es necesario tener en cuenta que las inquietudes de un estudiante pueden ser muy legítimas e interesantes para él pero pueden no serlo para el resto del grupo. Por tanto, las inquietudes de un estudiante son válidas en la medida en que suscite interés en el resto del grupo o que vayan en línea con el propósito didáctico del docente.

Si bien no siempre es posible dar cabida a las ocurrencias de todos los estudiantes (decidir adecuadamente, en pocos segundos, si es conveniente o no embarcar a todo el grupo en discutir una idea surgida de un estudiante determina, en parte, una buena gestión de la clase), es necesario que la clase se desarrolle, en alguna medida, a partir de una selección de estas ocurrencias, porque son las que vuelven particular a ese grupo, las que lo diferencian de otros, las que le asignan un perfil identitario y, por tanto, construyen comunidad. La propuesta anterior, además de promover la construcción de la CMA, saca al profesor tradicional de su lugar agobiante y agobiado de repetidor de conocimiento y torna su actividad más gratificante.

Por otra parte, dar lugar a las ocurrencias de los estudiantes hace viable la aparición –tan necesaria para la construcción de la CMA– de nuevos problemas, porque una auténtica comunidad matemática no puede constituirse únicamente en torno a los problemas que propone el profesor.  

«Señalemos que la clase –a instancias de la docente– se embarca en la discusión de un problema que “aparece” de la mano de una estrategia propuesta por un grupo de alumnos, y que no formaba parte de la planificación inicial. En otros términos, el problema que se discute emerge en el contexto de las interacciones que se promueven, es un problema nuevo, alejado del problema original aunque surge a partir de él, y que da lugar a fértiles e interesantes discusiones desde el punto de vista de la posibilidad que ofrece a los alumnos de producir fundamentos para el trabajo matemático. La clase como productora de nuevos problemas, ese es el asunto que queremos resaltar. (Sadovsky, 2005a, p. 78)

7. La provisoriedad del conocimiento matemático escolar

Por último, quisiera mencionar al pasar un aspecto que considero importante en la reconstrucción escolar del conocimiento matemático: su provisoriedad. Si bien en la enseñanza tradicional de la matemática se transmite el conocimiento en su forma acabada, en el contexto de la CMA el conocimiento matemático se debería reconstruir a través de un proceso que respete los conocimientos y las herramientas que poseen los estudiantes. 

«La noción de provisoriedad es inherente a la concepción de conocimiento que estamos sosteniendo: un proceso de producción se “arma” con los materiales –los conocimientos, las herramientas– que se tienen; y en ese sentido, si se quiere que en la clase se haga matemática, habrá que pensar cómo concebir un escenario en el que se respeten los rasgos esenciales del trabajo en la disciplina teniendo en cuenta los conocimientos de los alumnos. En este sentido, son interesantes los contextos que funcionan como sostén de algunas ideas aunque dicho sostén no sea muy riguroso o no pueda atrapar todas las ideas vinculadas al concepto que se quiere comunicar.» (Sadovsky, 2005a, pp. 102-103)

Creo que próxima a la idea de la provisoriedad del conocimiento está la idea del sostenimiento de la pregunta. No toda pregunta requiere una respuesta inmediata y definitiva: hay preguntas que conviene sostener e ir respondiendo a través de sucesivas aproximaciones en función de los materiales que van elaborando los estudiantes. Esto concuerda con la forma en que históricamente se ha construido el conocimiento matemático. Nuevamente, la tensión es importante: sostener la pregunta sí, pero no olvidarla.

Charlot, B. (1986). La epistemología implícita en las prácticas de enseñanza de las matemáticas. Conferencia pronunciada en Cannes. Recuperado de: https://isfd112-bue.infd.edu.ar/sitio/wp-content/uploads/2020/03/01-Articulo-de-Charlot-traducido.pdf

Sadovsky, P. (2005a). Enseñar matemática hoy. Miradas, sentidos y desafíos. Libros del Zorzal.

Sadovsky, P. (2005b). La Teoría de Situaciones Didácticas: un marco para pensar y actuar la enseñanza de la matemática. Recuperado de: https://www.fing.edu.uy/grupos/nifcc/material/2015/teoria_situaciones.pdf