Relatos de modelos y modelización de relatos

En la enseñanza de la matemática los relatos pueden ser utilizados como recurso didáctico para introducir, contextualizar, afianzar o ejemplificar conceptos matemáticos, brindando a los estudiantes un contexto significativo y motivador para el aprendizaje. En 2006, la Revista Conversación, llamó a concurso «para la presentación de artículos inéditos sobre experiencias didácticas innovadoras comprobadas en la práctica como valiosas y que aporten una fundamentación teórica explícita». Me presenté al concurso con un artículo titulado: Relatos sobre historia de la matemática como recurso didáctico (el artículo se puede descargar haciendo clic acá). Es un artículo bastante barroco, sobrecargado de citas y notas al pie, porque, como dice Borges, en la estupenda entrevista que le realizara Joaquín Soler Serrano en 1976, en el programa de televisión A fondo: «Cuando yo empecé a escribir, yo era un joven barroco, como todos los jóvenes lo son, por timidez. El escritor joven sabe que lo que dice no tiene mucho valor y quiere esconderlo simulando ser un escritor del siglo XVII, o un escritor del siglo XX [sonríe], digamos. Pero en cambio, ahora, yo no pienso ni el XVII, ni el XX, trato simplemente de expresar lo que quiero, y trato de hacerlo con las palabras habituales; porque solo las palabras que pertenecen al idioma oral son las que tienen eficacia». En 2007 salió publicado mi trabajo en el número 18 de la Revista Conversación: parece ser que, en las sombras que arrojaban las citas, las notas al pie y el uso de giros poco frecuentes, logré ocultar lo poco que tenía para decir y me otorgaron el primer premio.

Pero ahora quiero enfocarme en el tema de esta publicación, que si bien trata sobre relatos, es desde una perspectiva diferente a la descrita anteriormente, para lo cual voy a compartir a continuación un texto que escribí hace unos cuantos años (aunque editado) a raíz de unas preguntas realizadas por unas colegas en el contexto de una investigación:

«Creo que el profesor debe acompañar los procesos de aprendizaje de sus estudiantes. Este acompañar sitúa al profesor en un segundo plano: el docente no tiene posibilidad de depositar sus conocimientos en sus alumnos, es simplemente un mediador entre el conocimiento y los estudiantes. Y tampoco es un mediador objetivo, ya que, aunque muchos matemáticos estén acostumbrados a ver los conceptos matemáticos como esencias platónicas, lo que realmente existen son las interpretaciones subjetivas de esos conceptos. Parece bastante clara la diferencia entre un hecho histórico y el relato realizado por un historiador; no es difícil darse cuenta que el historiador hace una interpretación del suceso desde su vivencia, desde su ideología, sus intereses, etc. Pero, quizás, por el carácter intrínsecamente abstracto de la matemática y porque, en su forma acabada, se presenta como una construcción rigurosamente lógica, puede no ser sencillo advertir que hacemos y brindamos interpretaciones de los objetos matemáticos. Un matemático diría tal vez: ‘un polinomio es un polinomio, no la idea que tú te haces de lo que es un polinomio’. La sentencia anterior encubre dos concepciones, la primera es el carácter tautológico, y por tanto incontrovertible, de los conceptos matemáticos; la segunda es la idea subyacente de que dichos conceptos preexisten como esencias platónicas. Esto nos enfrenta, eventualmente, a un problema en la enseñanza de la matemática: si el docente, persuadido (incluso inconscientemente) por la creencia de que los conceptos que enseña son esencias platónicas, puede tener miedo a arriesgar metáforas o a generar relatos que acerquen el conocimiento a sus alumnos, porque podría querer, ingenuamente, brindar una visión imparcial y objetiva. Pero el buen profesor propone metáforas y relatos, negocia significados con sus alumnos, no impone el conocimiento como algo acabado, como una esencia platónica inmutable que es pero de la cual no se puede decir más que con definiciones, axiomas o teoremas; el buen profesor sabe (o intuye) el carácter subjetivo que tiene todo conocimiento, sabe que cuando explica a sus alumnos les está brindando una interpretación, porque sabe que las esencias platónicas no se enseñan. Pero también es sumamente cuidadoso y crítico, porque conoce los riesgos que podrían traer aparejados la utilización de metáforas y relatos tendenciosos o inadecuados».

Antes de continuar, quizás sea conveniente brindar algún ejemplo de relato en el contexto de la enseñanza de la matemática desde esta perspectiva. Consideremos el concepto de límite. Algunos relatos (aunque quizás los podríamos considerar como variantes del mismo relato, sospecho que, cambios menores, podrían generar diferentes comprensiones del concepto), que dan cuenta de que el límite de f(x), cuando x tiende a a, es b, podrían ser: «Cuando x se acerca a a, f(x) se acerca a b», «Cuando x va tomando valores cada vez más próximos a a, f(x) va tomando valores más cercanos a b» o «Cuando x se acerca a a, f(x) se acerca a b tanto como queramos». Modelizar matemáticamente los relatos anteriores es una tarea compleja y lo es, en parte, porque se debe modelizar un relato dinámico a través de objetos estáticos: en la definición de límite (en términos de épsilon-delta), no hay movimiento, la definición de límite es estática. Que los matemáticos que se propusieron la tarea de elaborar una definición formal de límite, quisieran modelizar alguno de los relatos anteriores, explicaría (al menos en parte) la dificultad que tuvo, a nivel histórico, la consecución de dicha definición.

Recuerdo algo que leí hace algunos años en el libro Matemáticas e Imaginación, de Kasner y Newman, que me impactó:

«Además, si cada nueva invención matemática se basa en fundamentos establecidos desde muy antiguo, ¿cómo es posible extraer de las teorías del álgebra y la geometría estáticas, una nueva matemática capaz de resolver problemas que impliquen entidades dinámicas?

En cuanto a lo primero, no ha habido cambio en nuestro punto de vista. Estamos todavía firmemente aferrados a la creencia de que este es un mundo en el que el movimiento, así como el cambio, son casos especiales de un estado de reposo. No hay estado de cambio, si cambio implica un estado cualitativamente distinto del reposo; lo que distinguimos como cambio es simplemente, según señalamos ya una vez, una sucesión de muchas imágenes estáticas diferentes, percibidas en intervalos de tiempo relativamente breves. Con un ejemplo aclararemos esta idea: En el cinematógrafo, una serie de cuadros estáticos se proyectan sobre una pantalla, uno después del otro, en forma rápida. Cada cuadro difiere solo ligeramente del que le precede y la impresión que producen es tal, que no queda la más ligera duda en la mente del más inteligente espectador, de que se ha representado un movimiento en la pantalla. Una exhibición completamente convincente de cambio, se presenta por medio de una serie de imágenes completamente estáticas. [...]

Intuitivamente convencidos de que hay continuidad en el comportamiento de un cuerpo en movimiento, ya que no vemos realmente a la flecha en vuelo pasar por cada punto de su trayectoria, hay una inclinación irresistible a abstraer la idea de movimiento como algo esencialmente distinto del reposo.

Pero debe buscarse el origen de esta abstracción en las limitaciones fisiológicas y psicológicas pues no se encuentra, en modo alguno, justificada por el análisis lógico. El movimiento es una correlación de posición con tiempo. El cambio es simplemente otro nombre para designar una función, otro aspecto de esa misma correlación.

En cuanto a lo demás, el cálculo infinitesimal, como descendiente de la geometría y del álgebra, pertenece a una familia estática y no ha adquirido característica alguna que ya no poseyeran sus progenitores. Las alteraciones no son posibles en las matemáticas. De este modo, inevitablemente, el cálculo tiene las mismas propiedades estáticas que la tabla de multiplicar y la geometría de Euclides. El cálculo no es sino otra interpretación, aunque debe admitirse que muy ingeniosa, de este mundo inmutable.»

En el curso de Análisis 1 de la formación de profesores, antes de tratar la definición de límite, les propongo a mis estudiantes algunas actividades en donde deben poner en juego sus conocimientos previos, indicando el límite de unas ciertas funciones (dadas a través de sus gráficas o a través de sus expresiones analíticas). En la puesta en común de esas actividades surge alguno de los relatos que propuse más arriba. Cuando les planteo modelizarlos matemáticamente, comienzan considerando entornos de centro a: «las imágenes de todos los x de un entorno reducido de centro a, deben pertenecer a un entorno de centro b». De alguna forma, el enunciado anterior se ajusta bastante bien al relato: «Cuando x se acerca a a, f(x) se acerca a b»: se pasa de los x pertenecientes a un entorno reducido de a («x se acerca a») a los f(x) que pertenecen a un entorno de centro b («f(x) se acerca a b»), pero sabemos que esto no nos conduce a la definición de límite, por lo tanto, parecería que el relato nos aleja de la definición de límite. Para modelizar adecuadamente la noción de límite, es necesario, como sabemos, partir de entornos de centro b y, para cada uno de ellos, poder asegurar la existencia de entornos reducidos de centro a...

En una de las actividades previas a la definición de límite, mencionadas anteriormente, se pide analizar la existencia del límite, cuando x tiende a 1, de una cierta función con dominio el conjunto X formado por los 1/n, con n natural, distinto de cero. Reproduzco una pasaje del intercambio que tuvimos alrededor de esta actividad:

-Estudiante 1: ¿Puedo decir que no existe el límite porque x no tiende a 1?

-Profesor: Bueno, me gustaría pensar en eso entonces, en la idea intuitiva de qué entendemos cuando decimos que «x tiende a 1».

-E2: Capaz que estoy tirando cualquier bolazo, pero pensando en lo que dijo E1, ¿tiene que ver con que 1 es punto aislado del dominio, o algo por el estilo?

-P: Bueno, primero veamos: ¿1 es punto aislado del dominio de la función? El dominio de la función es X, ¿1 es punto aislado de X? ¿Por qué?

-E2: Porque existe un entorno reducido de centro 1 que no tiene elementos del conjunto.

-P: Esa es una forma de definirlo. Existe un entorno reducido de centro 1, cuya intersección con X es el conjunto vacío; por lo tanto, 1 es punto aislado de X.

-E2: Entonces x no tiende a 1.

-P: Porque la idea que tenemos de que x tiende a 1, ¿cuál es?

-E1: Que tengo valores de x tan cerca como yo quiera de 1.

-E2: Que 1 sea punto de acumulación.

-P: Estoy de acuerdo: si queremos modelizar la idea intuitiva de que x tiende a 1, esa cuestión de que nos vamos acercando a 1 tanto como queramos a través de elementos del dominio, necesitamos que 1 sea punto de acumulación del dominio. Por lo tanto, si el punto es aislado, no estaríamos en condiciones de «acercarnos a 1 tanto como queramos». En cambio 0 sí es punto de acumulación del dominio de la función, por lo tanto, podemos acercarnos a 0, a través de elementos del dominio de la función, tanto como queramos.

La parte del relato que dice que «x va tomando valores cada vez más próximos a a», es atrapada a través del concepto de punto de acumulación («a es punto de acumulación de X, si en todo entorno reducido de centro a existe algún elemento de X»). Pero el modelo matemático se queda corto: el relato nos hace pensar que x se va acercando a a en forma ordenada, quiero decir que, si consideramos valores mayores que a, el relato parece sugerir, implícitamente, que los valores de x se van desplazando de derecha a izquierda. En cambio, el concepto de punto de acumulación, que intenta modelizar el relato, solo asegura la existencia de elementos del conjunto en todo entorno reducido del punto. Quizás nos sintamos persuadidos a imaginar cierto movimiento a raíz del cuantificador universal presente en la definición de punto de acumulación: para todo entorno reducido de centro a..., pero es una fantasía, la definición es estática y, por tanto, el modelo, no recoge el dinamismo presente en el relato. Creo que un análisis como el anterior le asigna sentido a la definición de límite, particularmente a la exigencia de que a deba ser punto de acumulación del dominio de la función, y permite una mejor conceptualización del concepto de límite.

Hace algunos años que la palabra relato se viene utilizando en política, según la siguiente acepción propuesta por la RAE: «Reconstrucción discursiva de ciertos acontecimientos interpretados en favor de una ideología o de un movimiento político». Propongo una definición tentativa de la palabra relato en el contexto de la enseñanza de la matemática: «Reconstrucción o construcción discursiva de conceptos o de resultados matemáticos interpretados en favor del aprendizaje de la matemática». ¿Qué te parece? ¿Qué ajustes le harías?

Los relatos deben seducir, deben estimular el pensamiento y potenciar la imaginación, aunque deben ser propuestos con cautela, y reflexión mediante, para evitar promover errores conceptuales o eventuales obstáculos cognitivos en el futuro.

Por otra parte, es necesario tener en cuenta que no solo los profesores construimos relatos, los estudiantes también construyen relatos personales en torno a los conceptos abordados en clase (o asisten a la clase de matemática con relatos ya construidos), por lo tanto es necesario desnaturalizar los relatos, ponerlos a discusión en el aula, se los debe analizar, criticar, mejorar; los relatos deben ser retomados y enriquecidos a lo largo del tiempo en franco intercambio con los estudiantes: ¿Cuán ajustado es un relato en relación a la definición matemática del concepto o en relación al resultado matemático? ¿En qué medida el relato da cuenta de la definición del concepto? ¿Qué elementos del relato, el modelo matemático del concepto no atrapa? ¿Qué elementos introduce la definición matemática que no estaban contemplados en el relato? Creo que discutir con los estudiantes, negociando significados, para dar respuestas a estas preguntas y a otras vinculadas a los relatos, podría ayudar a los estudiantes a una mejor conceptualización.

Por otra parte, quizás sea interesante no solo entender a la enseñanza de la matemática como portadora de relatos sino a los relatos como portadores de modelos matemáticos en la enseñanza: los relatos pueden utilizarse para describir, interpretar, significar o resignificar un concepto matemático o un resultado matemático, pero también, a la inversa, se puede buscar modelizar matemáticamente algunos relatos.

¿Cuáles relatos utilizas en tus clases? ¿Te has puesto a reflexionar acerca de la pertinencia de los mismos? ¿Has discutido con tus alumnos la relación entre los relatos que tú propones, o que ellos proponen, y los modelos matemáticos (definiciones o resultados matemáticos)? ¿Te parece que los relatos (y la discusión en torno a ellos) pueden aportar a la enseñanza de la matemática? ¿En qué sentido?