El enfoque tradicional, el enfoque didáctico de la estructura matemática y otro enfoque posible

Creo advertir que en los libros de texto de Matemática para la enseñanza secundaria en Uruguay las propuestas de enseñanza están organizadas, en mayor o menor medida, teniendo en cuenta una estructura lógico-matemática más que otros aspectos como podrían ser los procesos cognitivos de adquisición del conocimiento o el quehacer propio de una comunidad matemática del aula. Si bien la estructura matemática es la que organiza los contenidos y, en consecuencia, la propuesta de enseñanza, esto no significa que en todos los casos se descuiden los aspectos cognitivos o la actividad matemática por parte de los estudiantes, pero sí se los subordina a la estructura matemática.

El enfoque tradicional y el enfoque didáctico de la estructura matemática

Las concepciones sobre la matemática y su enseñanza traen consigo propuestas de enseñanza que se materializan en libros de texto. El enfoque tradicional de la enseñanza de la matemática se expresa en libros de texto que, a grandes rasgos, se organizan de la siguiente manera: definición, notaciones, observaciones, ejemplos, ejercicios de aplicación, procedimientos, propiedades, ejercicios de repaso, consolidación y profundización.

A finales de la década de 1980, pero sobre todo en la década de 1990, aparecen libros de texto de Matemática uruguayos con un nuevo enfoque que subvirte cierto orden de las propuestas tradicionales: las definiciones aparecen a posteriori de actividades que se utilizan para introducirlas y las propiedades matemáticas son consecuencia de generalizar relaciones entre conceptos matemáticos que se observan a partir de actividades propuestas o, directamente, de la exhibición de casos particulares. Llamemos a este último: enfoque didáctico de la estructura matemática.

En los libros que siguen un enfoque didáctico de la estructura matemática, las actividades o la exhibición de casos particulares se suceden a lo largo de cada capítulo con la finalidad de ir presentando ordenadamente (en relación a una cierta estructura lógico-matemática) distintos conceptos y propiedades, y son el medio a través del cual se avanza en el desarrollo del capítulo. Aparecen así conceptos y notaciones y procedimientos y propiedades que, siguiendo un orden lógico-matemático preciso, van poblando las páginas del libro. En el enfoque tradicional la estructura lógico-matemática, más que orientar la propuesta, es prácticamente la propuesta en sí misma, salvo por el hecho de que a la estructura lógico-matemática se le incorporan ejemplos y actividades.

El enfoque didáctico de la estructura matemática constituyó un claro avance respecto del enfoque tradicional en el que la enseñanza de la matemática se concibe como transmisión de conocimientos en su forma acabada. El enfoque didáctico de la estructura matemática apunta (deseablemente) al proceso de construcción de conocimiento, integrando al alumno a dicho proceso, aunque continúa jerarquizando la estructura lógico-matemática por encima de otros aspectos: es la estructura matemática la que organiza la propuesta didáctica y no los procesos cognitivos de adquisición del conocimiento ni el quehacer matemático en el contexto de una comunidad del aula. No estoy afirmando que el enfoque didáctico de la estructura matemática no tenga en cuenta los procesos cognitivos ni el quehacer matemático en el aula por parte de los estudiantes, sí los tiene, pero están subordinados a la estructura matemática.

A pesar de que el enfoque tradicional de la enseñanza de la matemática, en mayor o menor medida, todavía no ha sido superado, me pregunto si, por lo menos desde los libros de textos de Matemática para la enseñanza secundaria, no se debería transcender el enfoque didáctico de la estructura matemática para generar nuevos horizontes.

Las consecuencias del abordaje didáctico de la estructura matemática

Los libros de texto de Matemática para secundaria son utilizados por muchos profesores para preparar sus cursos, por lo tanto son un modelo del quehacer matemático del aula (sobre todo para los noveles profesores). Creo que cualquier profesor que utilice los libros de texto que siguen un enfoque didáctico de la estructura matemática (descarto de plano considerar –por lo inadecuado de la propuesta– los libros de texto que siguen un enfoque tradicional) como un modelo para desarrollar sus clases, se encontrará con serias dificultades si desea que el aula se constituya en una comunidad matemática. Porque en una comunidad matemática del aula las actividades que se proponen no deberían tener como único propósito la definición de un concepto o el arribo a una propiedad: las definiciones deberían surgir como consecuencia de una necesidad por parte de los estudiantes de poner nombres, las propiedades deberían ser consecuencia de una condensación de observaciones (en el contexto de un conjunto de actividades) vinculadas a los atributos de un concepto, seguidas posteriormente de una generalización. En el enfoque didáctico de la estructura matemática, si el profesor no obtiene la respuesta esperada a una pregunta o a una actividad, puede verse tentado a torcer, suavizar, fragmentar –y luego recomponer con partes distintas elegidas convenientemente– las intervenciones de los estudiantes con el propósito de conseguir las respuestas esperadas (porque la exigencia que le impone la estructura matemática pesa sobre sus hombros), lo cual no se condice con lo que debería suceder en una comunidad matemática del aula.

Formación de profesores y autopercepción

En la formación de profesores soy un claro exponente del enfoque didáctico de la estructura matemática. Es más, los libros que escribí en coautoría con otros colegas para los cursos de Fundamentos de la Matemática, siguen este enfoque. Por lo tanto, cuando me entero que es el enfoque que sigue un estudiante del profesorado de Matemática en su práctica docente –a pesar de que creo que no es adecuado para secundaria–, debo callar y asumir la cuota de responsabilidad que me cabe.

Ahora bien, ¿es deseable el enfoque didáctico de la estructura matemática en la formación de profesores? Realmente no lo sé. Me parece entrever (entre las tinieblas que provocan la tradición y los lugares comunes) que podría tener algún tipo de valor el enfoque didáctico de la estructura matemática, pero no estoy convencido: encuentro pros y contras. Entre los aspectos favorables podría estar la posibilidad de acceder a una visión global y articulada de los conocimientos matemáticos a cambio de una eventual visión fragmentada (aspecto que en la enseñanza secundaria no me parece relevante). Entre las contras que encuentro están las dificultades que tiene este enfoque para construir una comunidad matemática del aula y que los estudiantes del profesorado –si no hay intervención de otros actores y propuestas– intentarán reproducir este modelo en su práctica profesional como futuros profesores de secundaria.

¿Conocen la anécdota que cuenta Drexler cuando explica su canción «Cinturón blanco»? «Tengo un amigo argentino que me contó una vez que él coleccionaba revistas de artes marciales en Argentina, y que había una entrevista a Bruce Lee en la que decía que había una escuela (a la que Bruce Lee había ido) que tenía tres cinturones en el kung-fu. El primero, el cinturón blanco, el de los principiantes, el de los que recién entran y no tienen los conocimientos. Después de muchos años de trabajo y de aprendizaje técnico muy riguroso le daban a uno el cinturón negro, cuando tenía el dominio de la técnica, después de mucho tiempo; era el virtuoso en esa disciplina, el que tenía el dominio de la técnica. Pero la verdadera maestría, que era el tercer cinturón que le daban a uno, se adquiría cuando uno, después de haber incorporado toda la técnica, podía dejarla de lado, podía desaprender y mirar cada situación con ojos nuevos, y aprender que esa disciplina es una disciplina viva y que tiene un presente, y que no depende solo de una carga técnica que uno aplica mecánicamente sino que ahí entra la atención de uno, y la conciencia que tiene que tener en el presente para enfrentar cada situación con ojos nuevos, con ojos limpios, con ojos de principiante. Entonces a los maestros de kung-fu le daban el cinturón blanco, que era el tercer cinturón también.» (video) ¿Valdrá la anécdota anterior para el ejercicio de la profesión docente? En todo caso, si fuera forzosamente necesario aprender/desaprender como parte de un proceso natural, quizás no sea preciso esperar a que los estudiantes egresen para comenzar, tal vez la propia carrera debería brindar oportunidades para que esto ocurra. Pero como no me interesa la ingenua comodidad de una analogía, me gustaría saber, usted, estimado lector, ¿qué piensa?

Otro enfoque posible basado en secuencias didácticas

Las secuencias didácticas no son un constructo nuevo, Díaz Barriga (2013, p. 13) señala que: «los principios que subyacen en la conformación de secuencias didácticas [fueron] elaborados por Taba en 1962».

Creo que las secuencias didácticas utilizadas para la enseñanza de la matemática (poniendo énfasis en los aspectos cognitivos de la construcción del conocimiento –según registran distintas teorías de la Didáctica de la Matemática– y atendiendo las interacciones sociales entre estudiantes, profesores y saberes matemáticos que se dan en una clase como propone, por ejemplo, la Teoría de las Situaciones Didácticas), podría ayudar a corregir algunos inconvenientes que presenta el enfoque didáctico de la estructura matemática. Pero es necesario señalar enérgicamente que las secuencias didácticas por sí mismas (como cualquier otra alternativa) no solucionan nada si no existe una adecuada gestión por parte del docente, es más, podrían empeorar la situación como sucedió en Uruguay con la metodología basada en la resolución de problemas.

Antes de continuar, quisiera indicar que este artículo no tiene como objetivo brindar herramientas para construir una secuencia didáctica ni tampoco brindar ejemplos, el propósito de este documento es describir algunas generalidades sobre un enfoque basado en secuencias didácticas como alternativa posible al enfoque didáctico de la estructura matemática.

Desde el enfoque didáctico de la estructura matemática se suelen presentar los contenidos matemáticos de un modo lineal, tanto en un sentido temporal como en lo que respecta a su organización: los conceptos, las propiedades, los procedimientos aparecen ordenados en un sentido creciente de complejidad acorde transcurre el tiempo y acorde a una estructura lógico-matemática: a partir de una actividad se arriba a una definición o a una propiedad, luego sigue otra definición u otra propiedad y, así, en una escalada de complejidad, se van abordando –y abandonando, por lo menos momentáneamente– distintos conceptos y propiedades. Son abandonados, por lo menos momentáneamente, porque podrían ser retomados por los estudiantes a través actividades que sirven para repasar, consolidar o profundizar (muchas de estas actividades, en los libros de texto, suelen aparecer al final del capítulo). (Una precisión: no me estoy manifestando en contra de las actividades de repaso, consolidación y profundización –seguramente sean necesarias–, lo que estoy señalando es que en el enfoque didáctico de la estructura matemática los retornos a los conceptos matemáticos suelen quedar a cargo de los estudiantes; en el mejor de los casos estos conceptos retornan al aula cuando el profesor decide corregir algunas de las actividades propuestas de deberes –hablar de retorno implica volver sobre algo que se abandonó–). En el enfoque didáctico de la estructura matemática el profesor avanza sobre el conocimiento, y con cada definición y propiedad el docente puede sentirse satisfecho y comentar en la sala de profesores: «hoy llegué hasta la definición de divisor; la clase que viene espero poder llegar a la definición de máximo común divisor». Hay un fuerte énfasis en avanzar linealmente sobre los contenidos de la estructura matemática.

«El diseño de una secuencia didáctica parte de un enfoque didáctico específico en el marco de una experiencia educativa escolar preconcebida. Desde la perspectiva que venimos desarrollando, se sustenta en el reconocimiento de la necesidad de acercarse en diferentes momentos y de distintas formas a un objeto de conocimiento. Supone concebir que el sujeto construye el conocimiento a través de interacciones sucesivas no lineales y variadas. De este principio deriva la necesidad que en la secuencia didáctica se prevean variedad de oportunidades a través de diferentes vías de acceso a un saber o conjunto de saberes.» (Dirección General de Educación Inicial y Primaria. Ministerio de Cultura y Educación. Gobierno de la Pampa, 2014, p. 2)

En el enfoque basado en secuencias didácticas unos ciertos contenidos son abordados a través de un conjunto de actividades, pero no son simplemente una secuencia de actividades a través de las cuales se van calzando ordenadamente los contenidos en una estructura matemática, por el contrario, son un conjunto de actividades a través de las cuales se abordan el mismo contenido:

«En este punto, se puede diferenciar entre secuencia de actividades y secuencia didáctica. Una secuencia didáctica propone el trabajo de los mismos contenidos, ordenados en una secuencia temporal de actividades que permitan ir de lo complejo a lo más complejo, mientras que en la secuencia de actividades no siempre se están trabajando los mismos contenidos (...) Hace referencia a un ordenamiento cronológico de actividades.

Toda secuencia didáctica supone una secuencia de actividades, pero no todas las secuencias de actividades suponen una secuencia didáctica. En la secuencia didácticas las actividades están organizadas temporalmente en función del mismo contenido.» (Bettini, Palacios y Rimoli, 2009, pp. 3-4)

Si bien, como señalé, el propósito de este artículo no es brindar herramientas para la elaboración de una secuencia didáctica, me parece que lo que comentan Agrasar y Chemello (2016), puede ayudar a entender la idea de secuencia didáctica y diferenciarla de una secuencia de actividades:

«Sin embargo pensamos que al planificar puede ser útil, además de resolver las actividades elegidas, anticipar los distintos procedimientos de resolución y las conclusiones posibles de obtener en cada clase, utilizar estos criterios o dimensiones de análisis para revisar nuestra selección. Si encontráramos que se modifican todos a la vez (los contextos son distintos, los tipos de representaciones varían y cambia el repertorio numérico –entre otras diferencias posibles–), no podríamos asegurar identificar la coherencia interna de la secuencia en función de algún propósito definido. Si, en cambio, se evidencian varias reiteraciones en algunas dimensiones (actividades con el mismo contexto, el mismo rango numérico, el mismo tipo de interacción, etc.), estaríamos frente a una propuesta de actividades repetitivas que no enriquecerán el tipo de trabajo propuesto a los alumnos, con el consecuente impacto en sus aprendizajes.» (p. 57)

Ahora bien, luego de haber presentado algunas características generales de una secuencia didáctica y de haberla contrapuesto a la idea de secuencia de actividades, quisiera señalar uno de los aspectos que considero crucial: las secuencias didácticas no solo deberían caracterizarse por la variedad de oportunidades que brindan al estudiante para acercarse a unos ciertos conocimientos, las secuencias didácticas deben elaborarse prestando especial atención a las teorías de la Didáctica de la Matemática que brindan herramientas para atender los aspectos cognitivos de la construcción del conocimiento (como pueden ser la teoría APOE, la teoría de los Campos Conceptuales de Vergnaud o la teoría de los Registros de Representación Semiótica de Duval) y a las teorías que permiten «comprender las interacciones sociales entre alumnos, docentes y saberes matemáticos que se dan en una clase y condicionan lo que los alumnos aprenden y cómo lo aprenden» (Brousseau, 2007, pp. 7-8), como por ejemplo la Teoría de las Situaciones Didácticas:

«Cada noción a enseñar debe ser abordada a través de un conjunto de problemas, pues en cada uno es posible estudiar solo algunas cuestiones, y ese conjunto de problemas puede construirse considerando los aportes de distintas investigaciones didácticas.

Por una parte, habrá que incluir problemas que contemplen las tres componentes señaladas por Vergnaud (1997), aquellos que permitan abordar el estudio de los significados que la noción a enseñar asume por las situaciones que permite resolver en distintos contextos, problemas donde intervengan las propiedades que le son propias y las relaciones asociadas a ella, y también problemas donde la noción vaya apareciendo con sus diversas representaciones para identificarlas y conocer cómo pasar de una a otra según los requerimientos de la situación (Duval, 1998).» (Agrasar y Chemello, 2016, p. 47)

Cualquier enfoque está destinado al fracaso si no existe una adecuada gestión por parte del docente, por lo tanto el enfoque basado en secuencias didácticas no trae consigo soluciones mágicas: como ya mencioné, creo que este enfoque puede ser una buena alternativa si existe una adecuada gestión por parte del docente, de lo contrario podría ser hasta contraproducente: si el profesor no tiene claro cómo aprovechar las secuencias didácticas puede terminar por hacer un licuado de conceptos y propiedades que no contribuya en lo más mínimo a que los estudiantes puedan apropiarse del conocimiento matemático. En este sentido es importante tener en cuenta lo que señalan Agrasar y Chemello (2016):

«Luego de la resolución y como parte de la puesta en común, enunciar las conclusiones obtenidas y explorar su alcance, identificar los conocimientos nuevos y relacionarlos con otros conocidos, es fundamental para que lo que se aprende pueda ser reutilizado en nuevos problemas. El preguntarse si las conclusiones obtenidas se modifican después de analizar varios ejemplos –cuando se cambian las cantidades, los números, las figuras, etc.– y si es así́, formular nuevas conclusiones es una parte central del avance en los procesos de generalización». (p. 48)

En un enfoque basado en secuencias didácticas la institucionalización del conocimiento como parte de la gestión docente es clave:

«Nos vimos obligados a preguntarnos por qué se daba esa resistencia de los docentes a reducir el aprendizaje a los procesos que habíamos concebido. Nos tomó un tiempo darnos cuenta de que los docentes realmente estaban obligados “a hacer algo”: debían dar cuenta de lo que habían hecho los alumnos, describir lo que había sucedido y lo que estaba vinculado con el conocimiento en cuestión, brindarles un estado a los eventos de la clase en cuanto resultados de los alumnos y resultados de la enseñanza, asumir un objeto de enseñanza, identificarlo, acercar las producciones de los conocimientos a otras creaciones (culturales o del programa), indicar cuáles podían ser reutilizadas nuevamente.

En primer lugar, esos hechos y luego los razonamientos –el hecho de asegurar la consistencia del conjunto de las modelizaciones eliminando las que son contradictorias exige un trabajo teórico– mostraron la necesidad de tener en cuenta fases de institucionalización que dieran a determinados conocimientos el estado cultural indispensable de saberes. Del mismo modo que los teoremas en acto desaparecían rápidamente ante la ausencia de una formulación y una prueba, los conocimientos privados e incluso los públicos permanecerían contextualizados y tenderían a desaparecer en la marea de recuerdos cotidianos si no se los reubicara dentro de un repertorio especial cuya importancia y uso no fueran confirmados por la cultura y la sociedad.» (Brousseau, 2007, pp. 27-28)

En el enfoque basado en secuencias didácticas, la institucionalización del conocimiento matemático es de capital importancia, más que en el enfoque didáctico de la estructura matemática y muchísimo más que en el enfoque tradicional, porque en el enfoque didáctico de la estructura matemática las actividades se proponen con el objetivo de llegar a institucionalizar el conocimiento y en el enfoque tradicional todo es institucionalización:

«¡El rol del maestro también es institucionalizar! La institucionalización se da tanto en una situación de acción –cuando se reconoce el valor de un procedimiento que va a convertirse en un medio de referencia– como en una formulación. Hay algunas formulaciones que van a conservarse (“esto se dice así”, “estas vale la pena conservarlas”). Y en las situaciones de prueba también: hay que identificar cuáles de las propiedades que se encontraron son las que se van a conservar. Es claro que se puede reducir todo a la institucionalización. Las situaciones clásicas de enseñanza son escenarios de institucionalización sin que el docente sea responsable de la creación de sentido: se dice lo que se quiere que el alumno sepa, se le explica y se verifica si lo aprendió.» (Brousseau, 2007, pp. 98-99)

Por otra parte, creo que un enfoque basado en secuencia didácticas favorece la construcción de la comunidad matemática del aula tal como la describí en un artículo anterior (La comunidad matemática del aula. Una primera aproximación), mucho más que el enfoque didáctico de la estructura matemática:

«Pensar la enseñanza a través de secuencias desde el enfoque constructivista-interaccionista supone concebir que el sujeto construye el conocimiento a través de interacciones sucesivas. Toda construcción implica un proceso que no es único, que depende de los saberes previos de cada sujeto; esto hace rever las formas de presentar las situaciones de enseñanza como actividades únicas y fragmentadas. Es necesario prever recorridos a través de los cuales el niño puede hacer aproximaciones sucesivas al objeto de conocimiento.

Las primeras aproximaciones a los significados de un conocimiento forman parte importante en la resolución de problemas, son el patrimonio de conocimientos que poseen los alumnos para hacer frente a la situación planteada y a partir de ello construir nuevos significados. La reflexión, la discusión y el trabajo entre pares, las intervenciones docentes y los nuevos problemas, son interacciones que se ofrecen y favorecen la reutilización o recontextualización de una noción provocando el avance deseado.

Desde este enfoque se considera al conocimiento como provisorio, problematizador y cuestionable, como significados construidos y consensuados socialmente.» (Bettini, Palacios y Rimoli, 2009, p. 4)

Por último, en una época en la cual el ausentismo de los estudiantes es preocupante, el enfoque basado en secuencias didácticas también tiene para aportar:

«Los saberes que se van adquiriendo no se agotan en una única instancia de acercamiento a ellos; las situaciones sucesivas que se proponen en una secuencia van ayudando a los niños a regresar con otra intencionalidad y anticipar cómo puede seguir. (Ejemplo de esto son las lecturas y relecturas de un mismo texto con diferentes propósitos). Este elemento es el que permite trabajar con aquellos alumnos que tienen una relación de baja intensidad con la escuela, por ejemplo con quienes presentan ausentismos reiterados.» (Dirección General de Educación Inicial y Primaria. Ministerio de Cultura y Educación. Gobierno de la Pampa, 2014, p. 4)

Profesores y maestros: ¿tienen algo para aportarse mutuamente?

Creo que es necesaria la articulación entre primaria, secundaria, la formación de maestros y la de profesores, particularmente en lo relativo a la enseñanza de la matemática. Veo en el enfoque basado en secuencias didácticas un auténtico camino de cooperación entre maestros y profesores de Matemática, porque los maestros tienen un camino bastante más transitado que los profesores en lo que respecta al trabajo con secuencias didácticas y los profesores tienen una formación sólida en matemática. Pero la formación que tenemos los profesores puede jugarnos en contra a la hora de pensar propuestas de clase desde un enfoque basado en secuencias didácticas, por lo tanto podemos beneficiarnos del conocimiento de los maestros y, por otra parte, los maestros quizás puedan beneficiarse del conocimiento de los profesores para potenciar, en términos matemáticos, sus propuestas didácticas.

Interrogante final

¿Algún día los profesores de Matemática abandonaremos los enfoques tradicional y didáctico de la estructura matemática y desarrollaremos propuestas de clase enfocándonos en los procesos cognitivos de adquisición del conocimiento y en el quehacer matemático del aula? Si ese día llegara, quizás ya no sea necesario explicarle a nadie la diferencia entre un profesor de Matemática y un matemático.

Agrasar, M. y Chemello, G. (Diciembre de 2016). Enseñar construyendo una red de conocimientos. Los aportes didácticos de las secuencias de enseñanza. Revista Quehacer Educativo. (pp. 46-57)

Bettini, M., Palacios, K, y Rimoli, M. (2009). La organización de Secuencias Didácticas en el Nivel Inicial. Dirección General de Cultura y Educación. Provincia de Buenos Aires.

Brousseau, G. (2007). Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas. Libros del Zorzal.

Díaz Barriga, A. (Setiembre-diciembre 2013). Secuencias de aprendizaje. ¿Un problema del enfoque de competencias o un reencuentro con perspectivas didácticas? Profesorado. Revista de currículum y formación del profesorado. Vol. 17, Nº 3. (pp. 11-33)

Dirección General de Educación Inicial y Primaria. Ministerio de Cultura y Educación. Gobierno de la Pampa. (2014). Aportes para pensar las secuencias didácticas en el aula. Documento de lectura para Docentes.