Relatos y modelos: conceptualización y generación de nuevas preguntas

En un artículo anterior (Relatos de modelos y modelización de relatos) he abordado un tema que considero fecundo en el contexto de la enseñanza de la matemática. En esta entrada les cuento sobre una nueva experiencia de clase.

En el curso de Análisis I de la formación de profesores de Matemática, comenzando el tema Sucesiones, les propuse a mis alumnos como actividad que consideraran la sucesión (a_n), de término general a_n=(3n+2)/n, que hallaran la imagen de: 1, 2, 3, 4, 1000, 1001, 1.000.000 y 1.000.001, y que indicaran qué observaban. Las observaciones, básicamente, fueron: i) a medida que n aumenta los términos de la sucesión disminuyen, ii) los términos son siempre mayores que 3 y iii) los términos se van aproximando a 3 a medida que los valores de n aumentan.

En el artículo mencionado inicialmente propuse una definición preliminar de relato en el contexto de la enseñanza de la matemática: «Reconstrucción o construcción discursiva de conceptos o de resultados matemáticos interpretados en favor del aprendizaje de la matemática». Entre las observaciones de los estudiantes me interesa centrarme en el siguiente relato: «los términos se van aproximando a 3 a medida que los valores de n aumentan». Si bien esta es una observación válida, podríamos decir que es un relato insuficiente en la medida en que no atrapa con cabalidad la complejidad de la situación: si los términos de una sucesión decreciente se fueran aproximando, por ejemplo, a 3,5, también se irían aproximando a 3.

Lo que pude observar es que no les resultó a mis estudiantes nada sencillo elaborar un relato más ajustado. Luego de insistir bastante, un alumno llegó a decir que: «los términos de la sucesión se aproximan a 3 hasta casi igualarse a 3», y otro estudiante indicó: «podemos encontrar términos de la sucesión tan cercanos a 3 como queramos». Esto parece indicar que ese relato que algunos profesores de Matemática solemos utilizar con cierta naturalidad: «los términos de la sucesión se aproximan a 3 tanto como queramos», no es del todo intuitivo.

Una vez que el grupo logró proponer un relato mejorado, el objetivo fue modelizarlo a través del concepto de límite, por lo tanto a continuación introduje la definición de entorno. El modelo matemático (la definición de límite) establece que el límite de una sucesión es 3, si para todo entorno de centro 3 (incluso si el radio es muy pequeño) todos los términos de la sucesión, a partir de uno particular, pertenecen al entorno.

El modelo matemático es más exigente que el relato: «podemos encontrar términos de la sucesión tan cercanos a 3 como queramos». Consideremos la sucesión (b_n) tal que b_n=3+1/n, si n es par, y b_n=0, si n es impar; es posible encontrar términos tan cercanos a 3 como se desee, pero no se cumple que en todo entorno de centro 3, a partir de un cierto término, todos los términos pertenezcan a dicho entorno (en otras palabras, el límite de (b_n) no es 3). Quizás el modelo se ajusta mejor a los relatos: «los términos de la sucesión se aproximan a 3 hasta casi igualarse a 3» o «los términos de la sucesión se aproximan a 3 tanto como queramos». Ahora bien, los dos relatos anteriores, ¿presuponen que los términos de la sucesión (a_n) se aproximan a 3 en «forma monótona», es decir, de modo que cada término está más cerca de 3 que el anterior? Si bien no lo dicen explícitamente puede quedar sugerido. Pero la definición de límite es más permisiva: no exige acercarnos a 3 (en el caso de la actividad propuesta, por valores mayores), tanto como queramos, en «forma monótona». Por ejemplo, la sucesión (c_n) tal que c_n=3+1/n, si n es par, y c_n=3+2/n, si n es impar, converge a 3 (porque verifica el modelo) y, sin embargo, sus términos: c_1=5; c_2=3,5; c_3=3,6; c_4=3,25; c_5=3,4; c_6=3,16; ... , si bien todos mayores que 3, no se aproximan a 3 «en forma monótona». (Por supuesto que podría haber considerado la sucesión de término general d_n=3+((-1)^n)/n, que tiene límite 3 y no es monótona, pero resulta menos intuitivo una sucesión, como la (c_n), que no es monótona, todos sus términos son mayores que 3, y tiene límite 3).

El propósito de las disquisiciones (¿examen riguroso que se hace de algo, considerando cada una de sus partes o divagación?) anteriores no es llamar la atención acerca de la importancia en la precisión del lenguaje, el propósito es reflexionar acerca de cómo la confrontación de relatos y modelos podría contribuir a una mejor conceptualización; además de ser fuente de generación de nuevas preguntas. Por ejemplo, consideremos una sucesión sobre la que se establece: «es posible encontrar términos tan cercanos a 3 como queramos», ¿por qué el modelo (la definición de límite) permite justificar que si la sucesión converge a 3 la afirmación anterior es verdadera? Si se verifica la afirmación anterior, ¿necesariamente la sucesión converge a 3? Si se establece sobre una sucesión: «los términos se aproximan a 3 tanto como queramos», ¿esto implica que la sucesión converge a 3? ¿Cuáles son las insuficiencias del relato o cuáles son las asunciones que se deben hacer para responder afirmativamente? Que «los términos se aproximen a 3 tanto como queramos», ¿implica que los términos son todos mayores (menores) que 3? ¿Implica que cada término está más cerca de 3 que el anterior?

Creo que discutir con los estudiantes en torno a relatos y modelos conduce a un proceso de reflexión (tan necesario para la construcción del tan mentado y aclamado, pero volátil, espíritu crítico) y de conceptualización en tanto enfrenta a los estudiantes a la complejidad de ciertos conceptos matemáticos en contraposición a una propuesta tradicional que solo contempla la definición y los ejemplos como la panacea para la comprensión.